ce pavé colorié en vert est un trapèze rectangle. Ses deux bases sont f(n) et f(n+1) en notant f la fonction affine f(x)=x/3+3 ; sa hauteur est (n+1)-n soit 1 ; ainsi son aire vaut, par la formule habituelle (demi_somme_des_bases)*hauteur :
a(n)=(2n+13)/6 ou (1/3)n+13/6 suite arithmétique de premier terme 13/6 et de raison 1/3
(logique : passer de n à n+1 augmente l'aire de 1/3, valeur du coefficient directeur de la droite)
Pour p(n) il nous faut calculer la longueur du segment porté par la droite :
f(n+1)-f(n)=1/3 et (n+1)-n=1 donne cette longueur comme racine(1+1/9) soit V10/3
ainsi p(n)=2n+2+V10/3
c'est aussi une suite arithmétaique de raison 2 de premier terme 2+V10/3